Hacker News Digest

Математики обнаружили первую фигуру, которая не может пройти сквозь саму себя после более чем трехвековой истории проблемы. Открытие разрешает загадку, связанную с пари принца Руперта Рейнского в конце XVII века, когда было доказано, что куб может пройти сквозь себя при определенном расположении туннеля. Новая фигура, созданная путем модификации куба, сохраняет объем, но не может быть перемещена через себя в любом направлении.

Решение пришло после того, как исследователи изучили все возможные конфигурации пространственных фигур. Интересно, что все платоновы тела (куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) могут проходить сквозь себя, а новая фигура стала первым исключением. Это открытие не только разрешает историческую задачу, но и открывает новые направления в изучении топологических свойств трехмерных объектов.

• Публикация описывает первый найденный полиэдр, который не может пройти через себя, и тем самым решает давнюю проблему, хотя название статьи вводит в заблуждение.
• Обсуждение в комментариях охватывает широкий спектр тем — от исторического контекста до практического применения 3D-моделей и печати.
• Некоторые комментаторы поднимают вопросы о том, почему такой полиэдр не может пройти через себя, в то время как другие спрашивают, какие еще формы могли бы быть найдены в будущем.
• Обсуждение также затрагивает вопрос о том, как такой полиэдр может быть использован в образовательных целях, особенно для детей, и о том, какие еще формы могли бы быть напечатаны на 3D-принтере.
• Некоторые комментаторы также поднимают вопрос о том, какие еще формы могли бы быть найдены в будущем, и о том, какие из них могли бы быть напечатаны на 3D-принтере.

LACE — это новый вид клеточных автоматов, разработанных Новой Спивэком. В отличие от классической игры «Жизнь», LACE использует не только состояния клеток, но и их связи (топологию соседства), что позволяет достичь гораздо более сложного и реалистичного поведения, напоминающего живые системы.

Ключевые особенности:

• Динамические связи: Состояние сети определяется не только состояниями клеток, но и их взаимосвязями, которые также могут меняться.
• Эмерджентность: Из простых локальных правил возникают сложные глобальные паттерны, включая самовоспроизведение, адаптацию и даже нечто вроде «осознания».
• Масштабируемость: LACE работает на сетках любого размера, от микроскопических до вселенских, и демонстрирует фракталоподобные свойства на разных масштабах.

Спивэк подчеркивает, что LACE — не просто абстракция; это шаг к цифровой физике, где пространство, время и материя возникают из чистой информации. Он видит это как мост между математикой и физикой, предлагая, что реальность сама по себе может быть вычислительной.

Для поклонников Конвея или Вольфрама: LACE — это не замена, а расширение, открывающее новые горизонты в искусственной жизни и цифровой физике, приближая нас к пониманию жизни, Вселенной и всего остального через призму информации.

• LACE представляет собой новый класс клеточных автоматов, где правила опираются на топологию связей между клетками, а не на их состояние.
• В отличии от классических клеточных автоматов, LACE использует связи между клетками как метрики для правил, что делает возможным само-организацию сложных структур.
• Обсуждение поднимает вопросы о том, какие именно правила используются в демонстрациях, и как они отличаются от классических правил клеточных автоматов.
• Некоторые участники обсуждения высказывают предположение, что LACE может быть вычислительно эквивалентен к классическим клеточным автоматам, но с другой стороны, это может быть не так важно, поскольку различные представления одной и той же модели могут выявлять новые феномены.
• В конце концов, обсуждение приходит к выводу, что LACE является инструментом для исследования влияния топологических свойств на поведение клеточных автоматов, и что в будущем можно было бы использовать LACE для изучения влияния различных топологий на поведение клеточных автоматов.

Математики опровергли простой метод измерения сложности узлов, предложенный ещё в 1876 году Питером Тейтом. Он предполагал, что «заузленность» можно измерить минимальным числом пересечений, которые нужно перевернуть, чтобы развязать узел. Этот параметр, известный как unknotting number, долгое время считался интуитивно понятным инструментом для классификации узлов.

Однако недавно было доказано, что эта мера не работает так, как ожидалось: оказалось, что для некоторых узлов требуется больше переворотов, чем предсказывает теория, а сама операция может быть крайне неочевидной. Это открытие усложняет задачу различения узлов и показывает, что их математическая структура гораздо тоньше, чем кажется на первый взгляд.

• Обсуждается нетипичное поведение узлов, в частности, невозможность простого сложения их "чисел развязывания" при комбинировании.
• Высказывается гипотеза о существовании "отрицательного" числа развязывания для некоторых узлов, чтобы объяснить расхождения в расчетах.
• Уточняется, что проблема возникает из-за непредсказуемости изменения пересечений при соединении узлов.
• Отмечается, что для торических узлов все пересечения можно изобразить как положительные или отрицательные, что усложняет теорию.
• Обсуждается возможная связь концепции с другими математическими областями, такими как мнимые или сюрреальные числа.

План самообразования математика-чистяка (или статистика)

Этап 1

• школьная база
• дискретка, алгебра, анализ начального уровня

Этап 2

• линейная алгебра
• высшая алгебра
• вещественный и комплексный анализ
• диффуры, вероятность и статистика

Этап 3

• анализ, абстрактная алгебра, теория чисел
• топология, диффгеометрия
• по желанию: моделирование, статвывод, стохастика, вычислительная статистика

Этап 4

• фундамент: логика, множества, комбинаторика, криптография
• анализ: функциональный, мера, гармонический
• алгебра: группы, кольца, поля, гомологии
• числа: алгебраическая и аналитическая теория, эллиптические кривые
• геометрия и топология: алгебраическая, риманова, K-теория
• опционально: диффуры в частных, матфизика, вероятность на мере, многомерная статистика, байес, выживание, data mining

Этап 5

• читаем монографии и статьи, выбираем специализацию, делаем исследования

«Как пианист: сначала скучные этюды, потом — музыка» (Терри Тао).

• Классические «дорожные карты» по чистой математике часто выглядят как бесполезные списки книг без объяснения, зачем и в каком порядке их читать.
• Настоящий путь проще: крепкая линейная алгебра и анализ (Шилов, Рудин), дальше — основные учебники по геометрии, алгебре и анализу с доказательствами и наставником.
• Единственный способ стать математиком — публиковать исследования; маршрут любой, лишь бы вам было интересно и вы могли его пройти.
• Споры о «требуемом IQ 145» вызывают бурю критики: IQ не определяет креативность и усердие, а SAT/ACT лишь коррелируют с успехом, но не гарантируют его.
• Проверять стоит не коэффициент интеллекта, а свои реальные успехи в математике: умеете ли вы читать и писать доказательства, получаете ли удовольствие от процесса.

• Участники обсуждают, как определить «размерность» линии или кривой: топологически она остаётся 1-D, даже если изгибается в 2-D/3-D.
• Наведён пример с кривой Гильберта: по ней можно задать положение одним числом 0–1, но предел точек существует только при бесконечном числе итераций.
• Упомянуты разные инструменты: топологические многообразия, бокс-счёт, фрактальная размерность — каждый показывает свой аспект геометрии.
• Люди удивляются, почему такие понятия не преподают в школе: графы, RSA, элементарная топология доступны школьнику, но выпадают из программы.

Мешеры: геометрия невозможного

Кратко
Невозможные объекты — рисунки, которые мозг воспринимает, но в 3D не существуют. Раньше их «впихивали» в 3D: резали или гнули. Резка портит геометрию, гнутье мешает освещению и ломает алгоритмы (расстояния, диффузия и т.д.).

Мешер — новая сетка: у каждой вершины только 2D-координаты экрана, а у рёбер — разница глубин. Сумма этих разниц по циклу может быть ≠ 0; в этом вся «невозможность». Построено на дискретном внешнем исчислении.

Что умеет

• Сглаживание, диффузия тепла, геодезические расстояния.
• Инверсный рендеринг: из 2D-фото невозможного треугольника восстанавливаем мешер.
• Легко менять освещение, не портя форму.

Демо
Слева — сглаживание 2D-координат, в центре — сглаживание глубин, справа — всё вместе.
Из обычного тора оптимизацией получаем настоящий невозможный Penrose-треугольник.

Код и статья — на сайте проекта.

• Авторы фактически оцифровали «трюки Эшера»: в 3D-модели хранят только x, y и разность z между концами рёбер, вместо полных z-координат.
• Это превращает невозможные геометрии в «возможные» для нашего зрения, обманывая 2.5-D «прошивку» мозга.
• Комментаторы спорят: обман ли это или топологическая, неевклидова интеграция, которую приматье зрение легко переваривает.