John Coltrane's Tone Circle
Джон Колтрейн и «Тональный круг»
Саксофонист Джон Колтрейн создал «Tone Circle» — геометрическую диаграмму, соединяющую 12 тонов хроматической гаммы в круг, где соседние тона разделяет интервал в полтона. На схеме аккорды и тональности выглядят как правильные фигуры: треугольники, квадраты, шестиугольники. Это позволяет «видеть» модальные переходы и последовательности кварт-квинт, которые Колтрейн активно использовал в Giant Steps и других композициях.
Круг демонстрирует симметрию, скрытую в традиционной нотации: квинтовый цикл образует правильный 12-угольник, а аккорд ii–V–I — равнобедренный треугольник. Колтрейн, увлечённый математикой и философией, считал такую визуализацию способом «слышать геометрию» и быстрее ориентироваться в сложных прогрессиях.
Диаграмма также подчёркивает связь музыки с космологией: 12 тонов — как 12 знаков зодиака, а круговые движения напоминают орбиты планет. Идея вдохновила многих джазовых теоретиков и продолжает использоваться для анализа и обучения импровизации.
Комментарии (53)
- Dave Pollack и Vox показывают: «Giant Steps» кажется монстром из-за темпа; замедлите — и Coltrane Changes превращаются в обычные ii-V-I.
- Участники делятся интерактивом Sven, статьёй Гонзе и подкастом Strong Songs для дальнейшего изучения.
- Кто-то поднимает тему «сакральной геометрии» и связи музыки с устройством Вселенной.
- Идут споры о сложности для духовых, о «обожествлении» мёртвых музыкантов и о том, почему джаз нравится или раздражает.
Rupert's Property
Rupert’s property — возможность прорезать в выпуклом многограннике отверстие, достаточное для прохода точно такого же многогранника. До недавнего времени считалось, что это верно для всех выпуклых многогранников.
На этой неделе Steininger и Yurkevich нашли контрпример: выпуклый многогранник с 90 вершинами, не обладающий Rupert’s property.
- 240 рёбер, 152 грани.
- Проверено 18 млн вариантов отверстий + дополнительная математика.
- Назван noperthedron (игра слов: «нет Rupert»).
Историческая справка
Принц Руперт предположил, что в единичном кубе можно вырезать отверстие, через которое пройдёт куб с ребром ≈ 1,06. Подтвердил Джон Уоллис; позже Ньивланд нашёл максимальный размер.
Анимации
- Куб
- Октаэдр
- Видео — 26 многогранников с Rupert’s property и 5 подозрительных (включая триакис-тетраэдр, который всё-таки «проходит»).
Ссылка на статью
arXiv:2508.18475
Комментарии (16)
- На SIGBOVIK-2025 Том7 опубликовал доказательство, что не всякий выпуклый многогранник обладает свойством Руперта: найден «Noperthedron», который не является Rupert.
- Формулировка «Всякий ли выпуклый многогранник Rupert?» уже была добавлена в репозиторий формальных гипотез Google; обсуждается, насколько трудно будет формализовать новое доказательство в Lean.
- Участники вспомнили, что Мэтт Паркер и Numberphile делали видео о том, как куб можно протянуть через такой же куб.
- Имя «Noperthedron» дано в честь шуточного термина «Nopert» из статьи Том7.