Hacker News Digest

Lánczos-интерполяция — один из трёх «классических» способов изменения размера изображения, наряду с линейной и кубической интерполяцией. Визуально он даёт резкие, «непиксельные» картинки без характерных для других методов артефактов. Однако мало кто задумывается, откуда берётся этот метод. В статье разбирается, как именно он выводится из теории Фурье и какие компромиссы заложены в его основе.

• Обсуждение подтверждает, что 2D-интерполяция не сводится к произведению 1D-фильтров, а требует собственного ядра вроде jinc/Sombrero.
• Участники отмечают, что статья не сравнивает Lanczos с бикубиком и другими популярными фильтрами, хотя автор в подвале признаёт, что не включил сравнение из-за «семейства» кубических фильтров.
• Подчеркивается, что визуальные артефакты (ringing) в обоих случаях выглядят одинаково, и читатели отмечают сходство с JPEG-артефактами.
• В комментариях подчеркивается, что несмотря на то, что фильтр не претендует на звание «лучшего», он всё же остаётся популярным выбором в индустрии.
• Несколько участников просят добавить сравнение с бикубиком и другими фильтрами, но автор отвечает, что не включил сравнение, потому что кубические фильтры являются семейством, а не одним фильтром, и что большинство практических примеров всё равно выглядят как-то подобно Lanczos.

Фурье-преобразование — это способ разложить любую функцию на сумму простых волн.

Идея родилась в 1807 г., когда Жан Батист Жозеф Фурье искал закон теплопроводности. Он показал: любая периодическая кривая — это набор синусов и косинусов с разными частотами и амплитудами.

Современная формула
$$ \hat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x),e^{-2\pi i x\xi},dx $$
переводит сигнал из «временной» области в «частотную».

Как работает

• Сложный звук → набор чистых тонов.
• Изображение → сетка синусоидальных полос разной плотности.
• Удалив высокие частоты, получаем сжатие JPEG; убрав низкие — оставляем контуры.

Применения

• МРТ и рентген: преобразование Радона + обратное Фурье.
• Сотовая связь, радары, шумоподавление.
• Решение дифференциальных уравнений и квантовая механика.

Интуиция
Фурье-анализ — это «математический слух»: он выделяет, какие «ноты» содержатся в любом сигнале.

• В треде делятся ссылками на яркие визуализации: Captain Disillusion, 3Blue1Brown, MIT-лекция Фримена, интерактивы injuly.in и jezzamon.
• Кто-то предупреждает: «простые» объяснения могут дать иллюзию понимания, лучше сразу смотреть на математику.
• Появляются любители Лапласа/z-преобразования, жалуются, что о них почти нет популярных видео.
• Обсуждают практику: JPEG, OFDM, сжатие манги, анти-муар, фильтры в е-ink, а также «почему это работает» — спarsity, смена базиса в бесконечномерном пространстве.
• Интересуются деталями: как выбрать частоты, как считать преобразование на потоке, почему убрать высокие частоты = размытие.