Hacker News Digest

Математики опровергли простой метод измерения сложности узлов, предложенный ещё в 1876 году Питером Тейтом. Он предполагал, что «заузленность» можно измерить минимальным числом пересечений, которые нужно перевернуть, чтобы развязать узел. Этот параметр, известный как unknotting number, долгое время считался интуитивно понятным инструментом для классификации узлов.

Однако недавно было доказано, что эта мера не работает так, как ожидалось: оказалось, что для некоторых узлов требуется больше переворотов, чем предсказывает теория, а сама операция может быть крайне неочевидной. Это открытие усложняет задачу различения узлов и показывает, что их математическая структура гораздо тоньше, чем кажется на первый взгляд.

• Обсуждается нетипичное поведение узлов, в частности, невозможность простого сложения их "чисел развязывания" при комбинировании.
• Высказывается гипотеза о существовании "отрицательного" числа развязывания для некоторых узлов, чтобы объяснить расхождения в расчетах.
• Уточняется, что проблема возникает из-за непредсказуемости изменения пересечений при соединении узлов.
• Отмечается, что для торических узлов все пересечения можно изобразить как положительные или отрицательные, что усложняет теорию.
• Обсуждается возможная связь концепции с другими математическими областями, такими как мнимые или сюрреальные числа.

В программировании «алгебра» — это не школьные уравнения, а способ давать коду строгую структуру через свойства операций. Если обычная композиция объектов ограничивается «они реализуют один интерфейс», то алгебраическая композиция требует, чтобы набор данных и операций удовлетворял фиксированным законам: замкнутость, ассоциативность, единица, обратные элементы и т.д. Набор «целые числа + сложение» образует группу, потому что все четыре закона выполняются; код, в котором сложение строк вдруг выдаёт число, группой не является.

Именно этим объясняется «алгебраичность» Algebraic Effects: набор эффектов и обработчиков строится как свободная алгебра с заданной сигнатурой операций, а значит любая программа сводится к выражению, подчиняющемуся строгим законам переписывания. Практический выигрыш — возможность комбинировать и вложенно перехватывать эффекты без «callback-ада», потому что поведение заранее ограничено алгебраическими законами.

• Обсуждается различие между "алгебраическими" в контексте типов данных и эффектов, подчеркивая, что последние связаны с алгеброй монад, а не просто наличием уравнений.
• Участники предлагают ресурсы для изучения темы (статья "What is algebraic about algebraic effects and handlers?") и проводят аналогии с булевой алгеброй для лучшего понимания.
• Отмечается сложность терминологии и необходимость перевода абстрактных математических концепций (операции над типами/эффектами) в более доступные для программистов термины.
• Поднимается вопрос о синтаксическом представлении алгебраических типов (сумм и произведений) в разных языках программирования (OCaml, Lean).
• Обсуждается практическое применение алгебраических операторов на примере пакета Algebra of Graphics для Julia.