Hilbert space: Treating functions as vectors
Гильбертово пространство позволяет применять инструменты линейной алгебры к функциям, рассматривая их как векторы в бесконечномерном пространстве. Функции можно представить как векторы, где вместо конечного списка чисел каждое действительное число является индексом, а значение функции в этой точке - компонентой вектора. Например, функция f(x) = x² - это "вектор" с бесконечным числом компонент.
Функции вместе со стандартными операциями сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Для перехода к гильбертову пространству необходима дополнительная структура - квадратичная интегрируемость. Функция f: ℝ → ℂ называется квадратично интегрируемой, если интеграл от |f(x)|² по всей оси конечен. Такие функции образуют пространство L², где внутреннее произведение ⟨f,g⟩ = ∫f(x)g(x)dx обобщает скалярное произведение векторов, а интеграл от квадрата функции играет роль "длины" или "энергии".
Комментарии (45)
- Обсуждение показало, что векторы не обязаны быть «списками чисел» и что индексация может быть не только дискретной, но и непрерывной, как в случае функций от R в R.
- Участники подчеркнули, что важно различать вектор как абстрактный объект и его представление в конкретной базе, и что путаница между ними приводит к путанице в обсуждении.
- Обсуждение также затронуло вопрос о том, как обозначать и обсуждать векторы, когда индексы не являются целыми числами, и как это соотносится с обычной нотацией в линейной алгебре.
- Участники также обсудили, что важно различать вектор как абстрактный объект и его представление в конкретной базе, и как это влияет на интуитивное понимание и обучение.
- В конце обсуждение сошлось на то, что важно различать между вектором как абстрактным объектом и его представлением в конкретной базе, и как это влияет на интуитивное понимание и обучение.
How to become a pure mathematician or statistician (2008)
План самообразования математика-чистяка (или статистика)
Этап 1
- школьная база
- дискретка, алгебра, анализ начального уровня
Этап 2
- линейная алгебра
- высшая алгебра
- вещественный и комплексный анализ
- диффуры, вероятность и статистика
Этап 3
- анализ, абстрактная алгебра, теория чисел
- топология, диффгеометрия
- по желанию: моделирование, статвывод, стохастика, вычислительная статистика
Этап 4
- фундамент: логика, множества, комбинаторика, криптография
- анализ: функциональный, мера, гармонический
- алгебра: группы, кольца, поля, гомологии
- числа: алгебраическая и аналитическая теория, эллиптические кривые
- геометрия и топология: алгебраическая, риманова, K-теория
- опционально: диффуры в частных, матфизика, вероятность на мере, многомерная статистика, байес, выживание, data mining
Этап 5
- читаем монографии и статьи, выбираем специализацию, делаем исследования
«Как пианист: сначала скучные этюды, потом — музыка» (Терри Тао).
Комментарии (74)
- Классические «дорожные карты» по чистой математике часто выглядят как бесполезные списки книг без объяснения, зачем и в каком порядке их читать.
- Настоящий путь проще: крепкая линейная алгебра и анализ (Шилов, Рудин), дальше — основные учебники по геометрии, алгебре и анализу с доказательствами и наставником.
- Единственный способ стать математиком — публиковать исследования; маршрут любой, лишь бы вам было интересно и вы могли его пройти.
- Споры о «требуемом IQ 145» вызывают бурю критики: IQ не определяет креативность и усердие, а SAT/ACT лишь коррелируют с успехом, но не гарантируют его.
- Проверять стоит не коэффициент интеллекта, а свои реальные успехи в математике: умеете ли вы читать и писать доказательства, получаете ли удовольствие от процесса.