Hilbert space: Treating functions as vectors
Гильбертово пространство позволяет применять инструменты линейной алгебры к функциям, рассматривая их как векторы в бесконечномерном пространстве. Функции можно представить как векторы, где вместо конечного списка чисел каждое действительное число является индексом, а значение функции в этой точке - компонентой вектора. Например, функция f(x) = x² - это "вектор" с бесконечным числом компонент.
Функции вместе со стандартными операциями сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Для перехода к гильбертову пространству необходима дополнительная структура - квадратичная интегрируемость. Функция f: ℝ → ℂ называется квадратично интегрируемой, если интеграл от |f(x)|² по всей оси конечен. Такие функции образуют пространство L², где внутреннее произведение ⟨f,g⟩ = ∫f(x)g(x)dx обобщает скалярное произведение векторов, а интеграл от квадрата функции играет роль "длины" или "энергии".