What is a manifold?

В середине XIX века Бернхард Риман представил новый способ мышления о математических пространствах, заложив основу современной геометрии и физики. Многообразия — это формы, которые выглядят плоско для существ, живущих на них, хотя могут иметь сложную глобальную структуру, подобно тому как человек на поле может забыть, что Земля круглая. Это понятие изменило представление о пространстве, превратив его из физической среды в абстрактный объект, достойный изучения сам по себе.

Новая перспектива позволила математикам строго исследовать пространства высших измерений, что привело к рождению современной топологии. Сегодня многообразия играют центральную роль в геометрии, динамических системах и общей теории относительности, где пространство-время рассматривается как многообразие.

Комментарии (117)

Обсуждение охватывает как формальное определение многообразия, так и его применение в машинном обучении, физике и картографии, а также затрагивает вопросы этимологии и использования терминологии.
Участники обсуждали, что многообразие — это не просто «кривая поверхность», а объект, который локально выглядит как евклидово пространство, и что это определение важно для понимания термина.
Обсуждались примеры, такие как многообразие в контексте нейросетей и машинного обучения, где «многообразие» используется в более широком смысле, чем формальное определение.
Участники также обсудили, что важно различать многообразие как объект и как концепт, и что важно не путать многообразие с другими терминами, такими как «многообразие» в контексте машинного обучения.