What Is the Fourier Transform?
Фурье-преобразование — это способ разложить любую функцию на сумму простых волн.
Идея родилась в 1807 г., когда Жан Батист Жозеф Фурье искал закон теплопроводности. Он показал: любая периодическая кривая — это набор синусов и косинусов с разными частотами и амплитудами.
Современная формула
$$ \hat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x),e^{-2\pi i x\xi},dx $$
переводит сигнал из «временной» области в «частотную».
Как работает
- Сложный звук → набор чистых тонов.
- Изображение → сетка синусоидальных полос разной плотности.
- Удалив высокие частоты, получаем сжатие JPEG; убрав низкие — оставляем контуры.
Применения
- МРТ и рентген: преобразование Радона + обратное Фурье.
- Сотовая связь, радары, шумоподавление.
- Решение дифференциальных уравнений и квантовая механика.
Интуиция
Фурье-анализ — это «математический слух»: он выделяет, какие «ноты» содержатся в любом сигнале.