Minesweeper thermodynamics
Иногда в Сапёре сразу попадаешь в тупик: знаешь, где мины, но безопасных ходов нет. В примере пять допустимых расстановок мин, и ни одна клетка не свободна во всех.
Если считать все варианты равновероятными, вероятность безопасности клетки — доля «чистых» схем. Но у схем разное число мин: 5, 6 или 7. На экспертном поле 30×16 с 99 минами вне известной области остаётся 444 клетки и 94 мины. Число способов расставить оставшиеся мины:
C(444, 89)=1.93·10⁹⁵, C(444, 88)=0.483·10⁹⁵, C(444, 87)=0.119·10⁹⁵.
Схема с 5 минами в «пятне» в 16 раз вероятнее, чем с 7. Взвешенные вероятности безопасности клеток колеблются от 17 % до 69 %, а не 40 %, как при равных весах.
Аналогия с термодинамикой: «энергия» — число мин m, «температура» T = 1/ln(M/(C-M)). Вероятность ∝ exp(-m/T). При M=94, C=444 получаем T≈1/ln(0.269)≈1.31. Приближение даёт отношение 13.9 вместо точных 16.2, но качественно описывает распределение.