Hacker News Digest

1. Введение
Поставим однородные блоки шириной 2 ед. на край стола. Казалось бы, существует предел, насколько далеко можно выдвинуть верхний блок, не опрокинув всю башню. Однако оказывается, что при достаточном количестве блоков выдвижение может быть сколь угодно большим. Это вызывает удивление: почему башня не падает?

2. Три загадки

• Загадка 1 (4 блока). Четвёртый блок можно так расположить, что он полностью окажется за краем стола.
• Загадка 2 (10 блоков). При большем числе блоков выдвижение растёт без ограничения.
• Загадка 3. Можно ли «перейти к пределу» и получить бесконечную башню, бесконечно выступающую за стол? Ответ оказывается парадоксальным: либо башни не будет вовсе, либо она не выйдет за край.

3. Принципы равновесия

• Моменты сил и центр масс определяют устойчивость.
• Система устойчива, если вертикаль, проходящая через общий центр масс, пересекает опорную поверхность.

4. Пример из 4 блоков

• Верхний блок: выдвигаем на ½ ширины.
• Два верхних: их общий центр масс должен быть над краем второго блока → суммарное смещение ½ + ¼ = ¾.
• Три верхних: добавляем 1/6 → 11/12.
• Все четыре: добавляем 1/8 → суммарное смещение крайнего блока 25/12 ≈ 2.08 > 2.

5. Общая формула для n блоков
Смещение k-го блока (сверху):
[ d_k = \frac{1}{2k} ]
Суммарное смещение верхнего блока:
[ D_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2}H_n ]
где ( H_n ) — n-е гармоническое число. Поскольку ( H_n \sim \ln n ), выдвижение растёт неограниченно.

6. Логарифмическое приближение

• ( D_n \approx \frac{1}{2}\ln n ).
• Доля блоков, полностью выступающих за край, стремится к 0.
• Центры масс под-стеков располагаются логарифмически.

7. Бесконечная башня?

• Проблема: при ( n \to \infty ) высота башни тоже стремится к бесконечности.
• Круги: если заменить блоки на круги, можно получить бесконечную башню конечной высоты, но она не выйдет за край стола.
• Переиндексация: при другой нумерации блоков можно построить «широкую» бесконечную башню, но она будет лежать полностью на столе.

8. Заключение
Физика позволяет конечным башням выступать сколь угодно далеко. Однако попытка «перейти к пределу» приводит к парадоксам: либо башня исчезает, либо не выходит за край.